峰展寬的動力學和塔板高度
抖化學 / 2022-09-26
任何色譜體系的根本要素是柱中的溶質分子在流動區(qū)域和固定區(qū)域之間的分配(圖2- 5)。有時這些區(qū)域是不同的物理相，但經常是區(qū)城之間的界面即顆粒的外表面與相的界面不同，后者是將所謂的流動相(洗脫液)與固定相(例如吸附劑表面，液體固定相或離子交換樹脂相)分開。對于峰展寬的動力學進行精確的數(shù)學處理，這區(qū)別很重要，但對這里提出的比較定性的處理，則只要注意到存在著區(qū)別就已足夠。因此，雖然名詞“區(qū)域(zone)”和“相(phase)”將在下文中正確使用，但人們可按實用目的將之當作同義詞。為了簡單起見，假定在固定相和流動相之間的分配等溫線是直線，從而e'不受溶質濃度的影響。假設一個溶質譜帶沿柱子遷移某一距離之后，洗脫液停止流動，則溶質本身將在固定相和流動相之間依平衡比率進行分配:
溶質在固定相中的平衡量,qs(eq)
k'eq=------------------------------------------------------
溶質在流動相中的平衡量,qm(eq)
因為是動態(tài)平衡，所以經過足夠長的時間以后，任何一個分子將在兩相中以同一比例分配它的停留時間:即
溶質分子在固定相中平均停留時間
k'eq=----------------------------------------------------
溶質分子在流動相中平均停留時間
這一關系式也適用于分子在固定區(qū)城和流動區(qū)城中的數(shù)量和停留時間。
當洗脫液又開始流動時，任何分子在流動相或區(qū)域停留的時間分數(shù)將不變，而且對溶質分子的整個譜帶而言，其數(shù)量的比事也和平衡時完全一樣。這一結論極重要，它意味著，譜帶中心相對于洗脫液的移動速度，是由溶質在流動相和固定相之間的平衡分配所支配;亦即
譜帶的相對移動速度R=1/(1+k'eq
然而，仔細檢驗色譜譜帶內部的濃度分布時就會發(fā)現(xiàn)，不可能在譜帶的每一點上都平衡，而在峰尖兩側的確有不平衡的情況。這可看圖2-6,由于流動相流動的結果，在 流動區(qū)域測量所得溶質濃度分布曲線稍為走在固定區(qū)城中相應譜帶的前面。不難了解，
圖9-0流動相和固定相或兩個區(qū)城中的濃度輪廓，表示由流動引起的擾動
如果洗脫相液速度u增大成平衡速率降低時，兩個譜帶的位移&z將合增點:頭際上，它可嚴格地表示為&z-ugT
式中u。是流動區(qū)域的線速度，而T是平衡所需的時間?，F(xiàn)在可以證明，就是這兩個分譜帶的細小位移引起了峰的擴展。可以看到在譜帶的中心，比率qs/qm等于平衡分配比率qs(eq)/qm(eq)o
而在中心地帶的上游qs/qm大于qm(eq);而下游的qs/qm則小于qs(eq)/9m(eq);
也即
(qs/qm)上游>k'eq>(qs/qm)下游
任何溶質帶的移動速度公式是
u
U速=-------------------
1+(qs/9m)
對于組成所有譜帶的不同溶質的分子束來說
U譜帶中心上游<U中心<U譜帶中心下游
顯然，這是譜帶擴展的概念，因為相對于中心而言，譜帶的兩翼慢慢向外移動。
這個結論是了解色譜法的一個中心問題，因為它證明了譜帶擴展是直接與流動所引起的偏離平衡有關。要在明顯偏離平衡的條件下有效地運轉色譜體系是不可能的。因此，以平衡速度的差異為基礎所提出的分離機理是不正確的。
數(shù)學分析表明，由于慢平衡引起的任何譜帶擴展將與移動距離的平方根成比例:即
ω2= 16Hz
而常數(shù)H又正比于&z:
H=2(1- R)δz=2(1-R)uoT
H可看作柱內某種“平衡距離”。在Martin和Synge[3)的早期理論中H定義為柱的一個片段的厚度，而洗脫液從這個片段出來時的組成與洗脫液在該片段平衡后再流出時的組成相同。方程( 2-22 )使以流速和平衡時間表示的這一定義定量化了。一般說
來，τ是難以明確計算的， 但有兩種簡 單的情況(例如見參考文獻4)。當極限過程是溶質越過流動區(qū)城和固定區(qū)域之間的界面的轉移時，那末
1
ι=-------------
ka+kb
式中心和人是溶質吸附進人固定區(qū)域和從固定區(qū)域解吸出來的速率。
根據(jù)動力學k'=ka/kb,同時R-1/(1+k')，得到
k' u
H=------------·(-----)
(1+k')2 ka
這在實用上并非特別有用的結果，因為平衡中的關鍵問題通常不是越過顆粒外表面的傳遞。而總是在固定區(qū)域或停滯區(qū)域內的擴散。這種擴散過程的時間常數(shù)是:τ=d2/2D
式中d是擴散距離的均方根，D是擴散系數(shù)。當在固定區(qū)域中的擴散起限制作用時，H的方程變?yōu)?/span>
k' ud2
H=-----------(--------)
(1+k')2 Ds
D是顆粒直徑(對于均一的多孔粒子如硅膠類)或外殼厚度(薄殼或實心核的材料的情況) ; Ds是在固定區(qū)城的平均擴散系數(shù);9是構型因子，對均勻的球體取值1/30而對薄殼材料取值2/3。
當在流動相中的擴散起限制作用時，適用的方程如下式
qa+q?k+q?k'2 ud2p
H=------------------------(----------)
(1+k')2 Dm
q0、q1、q2是構型因子，它們反映流動的幾何形狀， 但除了在特殊情況(例如象高雷處理中的空心柱)之外-般無法估價，D.是溶質在流動相或流動區(qū)域中的擴散系數(shù)。
為了實用目的，所有這些方程都太復雜，我們只需要考慮它們的一般特征。首先，流動區(qū)城和固定區(qū)域之間的慢平衡對H的全部貢獻必須具有下列形式Hne=Cu
常散C正比于擴散距離的平方，因而對給定的顆粒類型正比于d2p C也與k'后有關，對于優(yōu)良的充填材料，當k'從0增加到無用大時:通常C逐漸增大至一倍或稍小的倍數(shù)。C與所在區(qū)域中的護放系數(shù)成反比。
前已提判換算塌板高度h=H/d,在實際表示柱性能方面確實比H更為有用。從理論觀點它也是更為有用的。假定多孔顆粒充滿了流動相，因而D?？山朴贒m,就得到
ud2p
Hne=∮(k')------------
Dm
或
udp
Hne=∮(k')--------------
Dm
組合(udp/Dm )是無量綱的，可簡單解釋如下:
udp d2p u
---------2x(-----------)(------)
Dm 2Dm dp
d2p
擴散經過一個顆粒的時間(---------)
2Dm
=2x--------------------------------------------------
洗脫液流過一個顆粒的時間(dp/u)
越過顆粒的流速
=2x----------------------------------------
越過顆粒的擴散速度
這個組合稱為換算速度，以ⅴ表示:
V= udp/Dm
式中Dm是溶質在流動區(qū)域的擴散系數(shù)。因此
hne=∮(k')v=Cv
實驗得出C的范圍在1x10﹣2到5x10﹣2。
因此換算塔板高度就是越過一個單獨顆粒的流動和擴散作用之間的平衡值的簡單函數(shù)。流動引起譜帶的擴展，而擴散則傾向于限制這一擴展效應。
然而，任何柱內都存在著除慢平衡以外的其它擴展機理。即使不存在分配作用，如在充填玻璃微珠的柱內，曲折和不平均的流動也引起擴展。這種擴展部分地來自通過顆粒間的流速的變化;這些變化所引起的擴展同時受到跨通道擴散和沿任何流路的隨機速度變化的對抗作用。同樣，擴散距離正比于顆粒直徑，流動是引起擴展的因子。它對塔板高度的貢獻可仍以一般方式表示
h流動=∮(v)
函數(shù)的形式無法從理論上推導，但實驗表明「5]對于實用目的為
h流動=Av0.33
式中A的數(shù)量級是1。
第三個擴展機理是縱向或軸向擴散。因為譜帶在柱中停留的時間與1/u成比例，這一效應產生的擴展或塔板高度的一般形式為
2γDm
H擴散=--------------
u
式中γ是一個常數(shù)。用換算值表示就變成:
2γ B
h擴散=--------=-------
v v
式中B的值通常約為2。將所有這些貢獻加起來就得到
B
h=---- + Av0.33+Dv
v
對v的依賴方式示于圖2-7。
圖2-7換算塔板高度h對換算速度v的對數(shù)曲線圖，表示方程( 2-38 )中各項的典型貢獻
換算參數(shù)方法的一個重要特點是，對于充填不同粒徑同種材料的柱，可得到相同的(h,v)曲線。因而以換算塔板高度對換算速度作圖，能在前后一致的基礎上比較不同材料性能的理想方式。此外，可以很方便地決定一根柱子或充填材料是否正常，
因為當換算速度在5左右，h的最低值應在2和3之間，而V=100時，h不應比10大得太多。
微粒材料的某些典型值示于圖2-8。
圖2-8微粒Spherisorb氧化 鋁的換算塔板高度曲線
薄殼材料是發(fā)展用于HPLC的第一種優(yōu)質充填材料，根據(jù)的概念是將傳質限制在一層外殼中 以降低其在固定區(qū)域中的擴散距離。這由Kirkland在一種后來稱為Zipax(DuPont公司商晶名)的材料中很成功地實現(xiàn)了。制作優(yōu)質薄殼材料的秘密在于制造一層薄的、均勻的和不受約束的多孔薄膜(外殼)。對于Zipax,最小h值小于2，即使在v=100, h也僅為5。隨后的許多制造薄殼材料的嘗試就不那么成功。簡單的顯微鏡觀察有時顯示出薄殼層十分粗糙、厚度不勻并和顆粒熔在一起。因為H中的傳質項與均方擴散距離有關，所以不均勻外殼的厚的部分就對H的大小起主要作用。因此，如果厚度不是非常均勻，薄殼層的優(yōu)越性就大部分喪失了?？赡芫褪?/span>由于這種原因，當前市場上的多數(shù)薄殼材料，很少或完全不優(yōu)于同樣大小的多孔材料。除少數(shù)例外，薄殼材料與同樣尺寸或稍小的均勻多孔材料比較，并無多大優(yōu)點。
多孔顆粒在固定相或區(qū)城中的慢擴散對h的傳質貢獻具有下列形式
k' Dm
hne=q-------------=---------V
(1+k')² Ds
式中DS是溶質分子在這一區(qū)域中移動時的表觀擴散系數(shù)。
重要的是應使Ds盡可能大。通常它最大可等于Dm,這在大孔吸附劑可以達到，但在許多色譜填充物中Ds可能很低。這樣的填充物是低效的而且分離很慢。Ds的低下有兩個主要原因:
( 1 )如果固定相是多聚物，Ds比在一個非粘性液體中可低10~ 100倍:例如D(已烷)≈3×10﹣³毫米²/秒; D(H?O)≈10﹣³亳米²/秒; D(聚苯乙烯)≈10~5毫米²/秒。 由于這一原因，離子交換樹脂是很不好的色講材料，除非在(h,v)曲線的最低點操作，該處的傳質
貢獻減至最小。同樣，多聚物涂層的薄殼材料通常劣于吸附劑層或涂敷有液體固定相層的材料。
( 2 )如果填充物含有小于比如說5纖米直徑的微孔，溶質分子就會陷入，并難于逃逸。這就產生慢傳質，表現(xiàn)為大的C項。此外，這類材料經常產生峰的拖尼，可能是因為分子在緊湊的角落里受到很大的吸引力。圖2 9表示兒種典型填充物的比較數(shù)據(jù)，它說明了上述的結論.
.jpg "一根填充色譜柱結構的圖解說明")
.jpg "任何色譜體系的根本要素是柱中的溶質分子在流動區(qū)域和固 定區(qū)域之間的分配(圖2- 5)。有時這些區(qū)域是不同的物理相， 但經常 是區(qū)城之間的界面即顆粒的外表面與相的界面不同，后者 是將所謂的流動相(洗脫液)與固定相(例如吸附劑表面，液體固定相或離 子交換樹脂相)分開。對于峰展寬的動力學進行精確 的數(shù)學處理，這區(qū)別很重要，但對這里提出的比較定性的處 理，則只要注意到 存在著區(qū)別就已足夠。因此，雖然名詞“區(qū)域 (zone)”和“相(phase)”將在下文中正確使用，但人們可 按實用目的將之當作同義 詞。為了簡單起見，假定在固定相和流 動相之間的分配等溫線是直線，從而e'不受溶質濃度的影響。假 設一個溶質譜帶沿柱子遷移 某一距離之后，洗脫液停止流動，則 溶質本身將在固定相和流動相之間依平衡比率進行分配: 溶質在固定相中的平衡量,qs(eq) k'eq=-------------------------------------- 溶質在流動相中的平衡量,qm(eq) 因為是動態(tài)平衡，所以經過足夠長的時間以后，任何一個分子將 在兩相中以同一比例分配它的停留時間:即 溶質分子在固定相中平均停留時間 k'eq=-------------------------------------------- 溶質分子在流動相中平均停留時間 這一關系式也適用于分子在固定區(qū)城和流動區(qū)城中的數(shù)量和停留 時間。 當洗脫液又開始流動時，任何分子在流動相或區(qū)域停留的時 間分數(shù)將不變，而且對溶質分子的整個譜帶而言，其數(shù)量的比事 也 和平衡時完全一樣。這一結論極重要，它意味著，譜帶中心相 對于洗脫液的移動速度，是由溶質在流動相和固定相之間的平衡 分配 所支配;亦即 譜帶的相對移動速度R=1/(1+k'eq 然而，仔細檢驗色譜譜帶內部的濃度分布時就會發(fā)現(xiàn)，不可能在 譜帶的每一點上都平衡，而在峰尖兩側的確有不平衡的情況。這 可 看圖2-6,由于流動相流動的結果，在 流動區(qū)域測量所得溶質 濃度分布曲線稍為走在固定區(qū)城中相應譜帶的前面。不難了解， 圖9-0流動相和固定相或兩個區(qū)城中的濃度輪廓，表示由流動 引起的擾動 如果洗脫相液速度u增大成平衡速率降低時，兩個譜帶的位移&z將 合增點:頭際上，它可嚴格地表示為 &z-ugT 式中u。是流動區(qū)域的線速度，而T是平衡所需的時間?，F(xiàn)在可 以證明，就是這兩個分譜帶的細小位移引起了峰的擴展?？梢钥?到在 譜帶的中心，比率qs/qm等于平衡分配比率qs(eq)/qm(eq)o 而在中心地帶的上游qs/qm大于qm(eq);而下游的qs/qm則 小于qs(eq)/9m (eq); 也即 (qs/qm)上游>k'eq>(qs/qm)下游 任何溶質帶的移動速度公式是 u U 速=------------------- 1+(qs/9m) 對于組成所有譜帶的不同溶質的分子束來說 U譜帶中心上游<U中心<U譜帶中心下游 顯然，這是譜帶擴展的概念，因為相對于中心而言，譜帶的兩翼 慢慢向外移動。 這個結論是了解色譜法的一個中心問題，因為它證明了譜帶 擴展是直接與流動所引起的偏離平衡有關。要在明顯偏離平衡的 條 件下有效地運轉色譜體系是不可能的。因此，以平衡速度的差 異為基礎所提出的分離機理是不正確的。 數(shù)學分析表明，由于慢平衡引起的任何譜帶擴展將與移動距 離的平方根成比例:即 ω2= 16Hz 而常數(shù)H又正比于&z: H=2(1- R)δz=2(1-R)uoT H可看作柱內某種“平衡距離”。在Martin和Synge[3)的早 期理論中H定義為柱的一個片段的厚度，而洗脫液從這個片段出 來時的組 成與洗脫液在該片段平衡后再流出時的組成相同。方程 ( 2-22 )使以流速和平衡時間表示的這一定義定量化了。一般說 來，τ是難 以明確計算的， 但有兩種簡 單的情況(例如見參考文 獻4)。當極限過程是溶質越過流動區(qū)城和固定區(qū)域之間的界面 的轉移時，那 末 1 ι=--------- ka+kb 式中心和人是溶質吸附進人固定區(qū)域和從固定區(qū)域解吸出來的速 率。 根據(jù)動力學k'=ka/kb,同時R-1/(1+k')，得到 k' u H=------------?(-----) (1+k')2 ka 這在實用上并非特別有用的結果，因為平衡中的關鍵問題通常不 是越過顆粒外表面的傳遞。而總是在固定區(qū)域或停滯區(qū)域內的擴 散 。這種擴散過程的時間常數(shù)是: τ=d2/2D 式中d是擴散距離的均方根，D是擴散系數(shù)。當在固定區(qū)域中的 擴散起限制作用時，H的方程變?yōu)? k' ud2 H=-----------(-----) (1+k')2 Ds D是顆粒直徑(對于均一的多孔粒子如硅膠類)或外殼厚度(薄 殼或實心核的材料的情況) ; Ds是在固定區(qū)城的平均擴散系數(shù); 9是構型 因子，對均勻的球體取值1/30而對薄殼材料取值2/3。 當在流動相中的擴散起限制作用時，適用的方程如下式 qa+q?k+q?k'2 ud2p H=------------------(------) (1+k')2 Dm q0、q1、q2是構型因子，它們反映流動的幾何形狀， 但除了在 特殊情況(例如象高雷處理中的空心柱)之外-般無法估價， D.是溶質 在流動相或流動區(qū)域中的擴散系數(shù)。 為了實用目的，所有這些方程都太復雜，我們只需要考慮它 們的一般特征。首先，流動區(qū)城和固定區(qū)域之間的慢平衡對H的 全部 貢獻必須具有下列形式 Hne=Cu 常散C正比于擴散距離的平方，因而對給定的顆粒類型正比于 d2p C也與k'后有關，對于優(yōu)良的充填材料，當k'從0增加到無 用大時: 通常C逐漸增大至一倍或稍小的倍數(shù)。C與所在區(qū)域中 的護放系數(shù)成反比。 前已提判換算塌板高度h=H/d,在實際表示柱性能方面確實 比H更為有用。從理論觀點它也是更為有用的。假定多孔顆粒充 滿了流動 相，因而D?？山朴贒m,就得到 ud2p Hne=∮(k')- ----- Dm 或 udp Hne=∮(k')- ----- Dm 組合(udp/Dm )是無量綱的，可簡單解釋如下: udp d2p u -----2x(------)(----) Dm 2D m dp d2p 擴散經過一個顆粒的時間(-----) 2Dm = 2x-------------------------- ------- 洗脫液流過一個顆粒的時間(dp/u) 越過顆粒的流速 =2x------------------------ 越過顆粒的擴散速度 這個組合稱為換算速度，以ⅴ表示: V= udp/Dm 式中Dm是溶質在流動區(qū)域的擴散系數(shù)。因此 hne=∮(k')v=Cv 實驗得出C的范圍在1x10﹣2到5x10﹣2。 因此換算塔板高度就是越過一個單獨顆粒的流動和擴散作用 之間的平衡值的簡單函數(shù)。流動引起譜帶的擴展，而擴散則傾向 于 限制這一擴展效應。 然而，任何柱內都存在著除慢平衡以外的其它擴展機理。即 使不存在分配作用，如在充填玻璃微珠的柱內，曲折和不平均的 流 動也引起擴展。這種擴展部分地來自通過顆粒間的流速的變 化;這些變化所引起的擴展同時受到跨通道擴散和沿任何流路的 隨機速 度變化的對抗作用。同樣，擴散距離正比于顆粒直徑，流 動是引起擴展的因子。它對塔板高度的貢獻可仍以一般方式表示 h流動=∮(v) 函數(shù)的形式無法從理論上推導，但實驗表明「5]對于實用目的為 h流動=Av0.33 式中A的數(shù)量級是1。 第三個擴展機理是縱向或軸向擴散。因為譜帶在柱中停留的 時間與1/u成比例，這一效應產生的擴展或塔板高度的一般形式 為 2γDm H擴散=--------- u 式中γ是一個常數(shù)。用換算值表示就變成: 2γ B h擴散=----=----- v v 式中B的值通常約為2。將所有這些貢獻加起來就得到 B h=---- + Av0.33+Dv v 對v的依賴方式示于圖2-7。 圖2-7換算塔板高度h對換算速度v的對數(shù)曲線圖，表示方程 ( 2-38 )中各項的典型貢獻 換算參數(shù)方法的一個重要特點是，對于充填不同粒徑同種材 料的柱，可得到相同的(h,v)曲線。因而以換算塔板高度對 換算速度 作圖，能在前后一致的基礎上比較不同材料性能的理想方式。此外，可以很方便地決定一根柱子或充填材料是否正常， 因為當換算 速度在5左右，h的最低值應在2和3之間，而V= 100時，h不應比10大得太多。 微粒材料的某些典型值示于圖2-8。 圖2-8微粒Spherisorb氧化 鋁的換算塔板高度曲線 薄殼材料是發(fā)展用于HPLC的第一種優(yōu)質充填材料，根據(jù)的 概念是將傳質限制在一層外殼中 以降低其在固定區(qū)域中的擴散距 離。 這由Kirkland在一種后來稱為Zipax(DuPont公司商 晶名)的材料中很成功地實現(xiàn)了。制作優(yōu)質薄殼材料的秘密在于 制造一層薄的、 均勻的和不受約束的多孔薄膜(外殼)。對于 Zipax,最小h值小于2，即使在v=100, h也僅為5。隨后 的許多制造薄殼材料的嘗試就不 那么成功。簡單的顯微鏡觀察有 時顯示出薄殼層十分粗糙、厚度不勻并和顆粒熔在一起。因為H 中的傳質項與均方擴散距離有關， 所以不均勻外殼的厚的部分就 對H的大小起主要作用。因此，如果厚度不是非常均勻，薄殼層 的優(yōu)越性就大部分喪失了。可能就是 由于這種原因，當前市場上 的多數(shù)薄殼材料，很少或完全不優(yōu)于同樣大小的多孔材料。除少 數(shù)例外，薄殼材料與同樣尺寸或稍小的 均勻多孔材料比較，并無 多大優(yōu)點。 多孔顆粒在固定相或區(qū)城中的慢擴散對h的傳質貢獻具有下 列形式 k' Dm hne=q--------=-----V (1+k')² Ds 式中DS是溶質分子在這一區(qū)域中移動時的表觀擴散系數(shù)。 重要的是應使Ds盡可能大。通常它最大可等于Dm,這在大 孔吸附劑可以達到，但在許多色譜填充物中Ds可能很低。這樣 的填充物 是低效的而且分離很慢。Ds的低下有兩個主要原因: ( 1 )如果固定相是多聚物，Ds比在一個非粘性液體中可 低10~ 100倍:例如D(已烷)≈3×10﹣³毫米²/秒; D(H?O)≈10﹣³亳 米²/秒; D(聚苯乙烯)≈10~5毫米²/秒。 由于這一原因，離子交換樹 脂是很不好的色講材料，除非在(h,v)曲線的最低點操作，該 處的傳質 貢獻減至最小。同樣，多聚物涂層的薄殼材料通常劣于 吸附劑層或涂敷有液體固定相層的材料。 ( 2 )如果填充物含有小于比如說5纖米直徑的微孔，溶質 分子就會陷入，并難于逃逸。這就產生慢傳質，表現(xiàn)為大的C 項。此外， 這類材料經常產生峰的拖尼，可能是因為分子在緊湊 的角落里受到很大的吸引力。圖2 9表示兒種典型填充物的比較 數(shù)據(jù)，它說明了上述的結論.")
.jpg "圖2-7換算塔板高度h對換算速度v的對數(shù)曲線圖，表示方程 ( 2-38 )中各項的典型貢獻")
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